8.7 Формула включения-исключения

На данном уроке ученики изучат важный комбинаторный принцип — формулу включения-исключения, которая позволяет точно находить количество элементов в объединении двух или более множеств, учитывая возможные пересечения между ними. Урок начинается с повторения основных понятий теории множеств, таких как объединение, пересечение и разность, а также с простых заданий для актуализации знаний.
Далее ученики познакомятся с формулой для двух множеств: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣, и увидят её доказательство как алгебраическим способом, так и с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Затем материал расширяется до трёх множеств, где формула принимает вид: ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣.
Ученики разберут наглядное объяснение, почему необходимо вычитать попарные пересечения и снова прибавлять тройное.
На уроке рассматриваются разнообразные примеры и задачи, где формула включения-исключения применяется в практических ситуациях: подсчёт учеников, посещающих кружки, туристов, говорящих на разных языках, студентов, сдавших экзамены, и даже задача Льюиса Кэрролла о минимальном количестве участников драки, получивших все виды травм.
Кроме того, ученики повторят и докажут распределительные законы для операций над множествами, используя как аналитические рассуждения, так и графические иллюстрации. В заключительной части урока предлагаются задачи для самостоятельного решения, включая работу с процентами и анализ противоречивых данных в статистике.

Урок содержит 16 разнообразных заданий.

• Презентация (в форматах pdf и pptx)
• Документ для учителя с ответами
• Рабочий лист